尺规作图是古希腊数学家创造的一种几何绘图方法，它仅使用一把无刻度的直尺和一个圆规，展现出纯粹与简洁的奇妙之处。
早在高斯的时代之前，人们已经能够用尺规绘制出特定数量的正多边形，如正三角形、正方形、正五边形等。对于任意给定的边数，尤其是较大的边数，能否通过尺规作图构造一个正多边形，曾是一个困扰了数学家们长达数年之久的问题。
直到1801年，高斯在《算术研究》这一巨著中，给出了一个震撼数学界的答案。他明确指出：正多边形可以通过尺规作图构造出来，当且仅当其边数是某些特定的形式——即2的某个非负整数次幂与若干个不同的费马素数的乘积。这些费马素数是以一种特定形式存在的素数。
现在让我们深入探讨一下这个结论的深远意义：
正多边形的边数可以是2的幂次方。这意味着我们可以构造出正四边形（正方形）、正八边形、正十六边形等，因为它们的边数是2的幂次方（如2、4、8、16等）。
边数也可以是费马素数。这些素数具有特定的形式，目前已知的费马素数仅有五个：3、5、17、257和65537。我们可以构造出正三边形（正三角形）、正五边形、正十七边形等具有这些费马素数的正多边形。
更进一步地，边数还可以是2的幂次方和费马素数的乘积。这意味着我们可以构造出边数为这些数字乘积的正多边形，例如正六边形（2×3）、正十边形（2×5）等。虽然边数为不同费马素数的乘积的正多边形较为罕见，因为已知的费马素数数量有限，但理论上只要存在更多的费马素数，它们的乘积也可以用来构造正多边形。
正n边形的可构造性取决于其边数是否符合特定的规则。符合规则的边数有：3，4，5，6，8等（可表示为正三角形、正方形等），而不符合规则的边数则无法通过尺规作图来构造。高斯的这一理论不仅解答了一个古老的数学问题，而且揭示了数论与几何之间深刻的联系。值得注意的是，尽管理论上我们可以构造像正六万五千五百三十七边形这样的多边形，但实际上这样的构造过程将会非常繁琐和耗时。
